Beginnen wir zunächst mit einem nicht mathematischen Beispiel und nehmen einmal an, dass eine Lottogesellschaft bei „Sechs Richtigen“ immer einen Gewinn von einer Million Euro auszahlt.
Dann kann man (natürlich unter der Voraussetzung man hat Lotto gespielt und den Schein auch abgegeben) folgende Aussage formulieren:
Wenn man „6-Richtige“ im Lotto hat (A) , dann ist man Millionär (B). oder
\[ A \Rightarrow\ B \]
Man sagt auch aus A folgt B oder eben wenn A, dann B.
Die Bedingung A „6-Richtige“ zu haben ist Hinreichend oder ausreichend für B nämlich Millionär zu sein!
Andererseits ist die Bedingung B (Millionär zu sein) Notwendig um einen Lottogewinner mit „6-Richtigen“ zu finden.
Aber diese Bedingung ist nicht hinreichend um Millionär zu werden oder zu sein! Dazu muss man nicht Lotto gespielt haben. Es gibt viele Gründe, warum man Millionär sein kann, man könnte das Geld geerbt haben, man könnte ein gut verdiender Geschäftsmann oder Fußballprofi sein oder oder oder……
Man sagt auch die Umkehrung der Aussage also
\[ B \Rightarrow\ A \]
ist im Allgemeinen falsch!
Betrachten wir jetzt ein mathematisches Beipiel:
Wenn eine natürliche Zahl durch 4 teilbar ist (A), dann ist sie auch durch 2 teilbar (B).
Die Teilbarkeit durch 4 (A) ist Hinreichend für die Teilbarkeit durch 2 (B).
Umgekehrt ist die die Teilbarkeit durch 2 Notwendig für die Teilbarkeit durch 4 aber eben nicht hinreichend. Denn ist eine Zahl nicht durch 2 teilbar dann ist sie erst recht nicht durch teilbar wie zum Beispiel 3, 5, 7, 9, 11,…. und so weiter dennoch ist die Teilbarkeut durch 2 nicht hinreichend, den 6, 10, 14, usw. sind alle durch 2 teilbar aber eben nicht durch 4. Also auch hier ist die Umkehrung falsch!
Es gibt aber auch mathematische Aussagen, bei denen die Umkehrung richtig ist. Dann sagt man
\[ A \Leftrightarrow B \]
oder
A ist äquivalent zu B.
Ein schönes Beispiele für eine äquivalente Aussage ist der bekannte und berühmte Satz des Thales.
Der Satz des Thales besagt:
Ist AB Durchmesser eines Kreies und C bei beliebiger Bunkt auf dem Kreis, dann ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.
Und die Umkehrung lautet.
Ist ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig, dann ist AB Durchmesser eines Kreises und C liebt auf dem Kreis.